Diskriminanten och i pq formel
Andragradsekvationer
Vi äger tidigare lärt oss ifall sålunda kallade andragradekvationer samt hur man kunna utföra på grund av för att åtgärda sådana ekvationer, bland annat tillsammans hjälp från pq-formeln. Låt oss repetera hur oss löser andragradsekvationer.
En fullständig andragradsekvation följer identisk mönster såsom nästa ekvation:
$$x^{2}+16x-4=0$$
För för att åtgärda ett andragradsekvation tillsammans hjälp från pq-formeln bör koefficienten framför x2-termen existera 1 samt högerledet lika tillsammans med noll.
detta bör alltså finnas ett x2-term, enstaka x-term, samt enstaka konstant term.
Om x2-termen äger ett koefficient tillsammans något annat värde än 1, därför behöver oss ursprunglig notera angående uttrycket genom för att dividera varenda begrepp tillsammans koefficienten.
Här följer en modell vid hur detta är kapabel vandra mot då x2-termen besitter koefficienten 2
$$2x^{2}+8x-2=0$$
$$\frac{2x^{2}}{2}+\frac{8x}{2}-\frac{2}{2}=\frac{0}{2}$$
$$x^{2}+4x-1=0$$
Det existerar även nödvändigt för att äga endast noll inom högerledet.
ifall oss äger en anförande alternativt en formulering inom HL subtraherar oss detta ifrån både vänsterledet samt högerledet - kvar inom högerledet blir då noll.
Här existerar en modell vid hur detta är kapabel vandra till
$$x^{2}+4x-1=7$$
$$x^{2}+4x-1-7=7-7$$
$$x^{2}+4x-8=0$$
När oss idag äger ett andragradsekvation skriven vid önskad struktur, kunna oss ta nästa steg samt åtgärda denna ekvation tillsammans hjälp från pq-formeln.
pq-formeln ser ut således här:
$$x^{2}+px+q=0$$
$$x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{p}{2} \right )^{2}-q}$$
Vi bör för tillfället visa en modell vid hur man kunna tillämpa denna formel på grund av för att åtgärda ett andragradsekvation
$$x^{2}+12x-13=0$$
Vi börjar tillsammans med för att känna igen p samt q.
Utifrån metoden kvadratkomplettering kan vi härleda en formel, pq-formeln, en formel som gör det enklare att lösa andragradsekvationer i det allmänna falletObservera för att q-värdet existerar negativt:
$$p=12$$
$$q=-13$$
$$x=-\frac{12}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{12}{2} \right )^{2}-(-13)}$$
$$x=-6\pm \sqrt{36+13}=-6\pm \sqrt{49}=$$
$$=-6\pm 7\Rightarrow x_{1}=1\: och\: x_{2}=-13$$
En andragradsekvation besitter ofta numeriskt värde lösningar, dock är kapabel även äga endast ett svar alternativt ingen lösning.
Här existerar en modell vid ett andragradsekvation vilket besitter endast ett lösning
$$x^{2}-8x+16=0$$
$$x=-\frac{(-8)}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{(-8)}{2} \right )^{2}-16}$$
$$x=4\pm \sqrt{(-4)^{2}-16}=4\pm \sqrt{0}$$
$$x_{1}=x_{2}=4$$
Emellanåt är kapabel man även äga för att utföra tillsammans med enstaka andragradsekvation likt ej äger någon reell svar.
Detta inträffar då rot-delen från pq-formeln utgörs från en formulering likt existerar roten ur en negativt tal.
Den på denna plats andragradsekvationen besitter ej någon reell lösning
$$x^{2}+10x+26=0$$
$$x=-\frac{10}{2} \pm\sqrt{\left (\frac{10}{2} \right )^{2}-26}$$
$$x=-5 \pm\sqrt{5^{2}-26}=-5\pm \sqrt{-1}$$
Eftersom oss ej kunna räkna ut roten ur -1 saknar ekvationen reell lösning.
Ett annat sätt för att åtgärda en andragradsekvation existerar tillsammans med hjälp från kvadratkomplettering
Målet existerar för att nedteckna ifall ekvationen vilket ett kvadrat, dvs därför här
$$x^2-2bx+b^2= (x-b)^2$$
Vi äger ekvationen
$$x^2-4x-12 = 0$$
Vi lägger mot 12 båda sidor
$$x^2-4x-12+12=0+12$$
Sedan lägger oss mot d2, vilket oss sen bör hitta till för att VL bör bli ett kvadrat.
$$x^2-4x+d^2 = 12+d^2$$
Vi kollar närmare vid VL vilket oss behöver till värde på d på grund av för att detta bör existera enstaka kvadrat. (Notera för att detta blir minus inom parentesen eftersom detta existerar minus framför 4x)
$$x^2-4x+d^2 = (x-d)^2$$
$$x^2-4x+d^2 = x^2 -2dx+d^2$$
Så på grund av för att detta bör stämma måste
$$-4x = -2dx $$
Alltså måste d = 2
Nu kunna oss notera angående den på denna plats ekvationen
$$x^2-4x+d^2 = 12+d^2$$
$$(x-d)^2= 12+d^2$$
Vi sätter in d = 2
$$(x-2)^2= 12+4$$
$$(x-2)^2= 16$$
Nu drar oss roten ur båda leden samt oss får
$$x-2 = \pm \sqrt{16}$$
$$x=2\pm 4$$
$$x_1= 6 \text{ samt } x_2 = -2$$
VI är kapabel granska våra rötter genom för att byta ut dem mot x i ekvationen oss ägde ifrån start samt får ut 0.
$$6^2 -4\cdot 6 -12 = 36 -24-12 = 0 $$
$$(-2)^2-4(-2)-12= 4+8-12 =0$$
Det stämmer!
Avsaknad från p-värde
pq-formeln som oss använde tidigare förmå ständigt tillämpas vid andragradsekvationer, dock angående ekvationen saknar p- alternativt q-värde, därför finns detta enklare metoder för att hitta lösningar.
I detta denna plats avsnittet bör oss titta hur man kunna åtgärda andragradsekvationer såsom saknar p-värde (p existerar lika tillsammans noll).
Här existerar en modell vid hur ett sådan andragradsekvation kunna titta ut
$$x^{2}-16=0$$
Den denna plats ekvationen saknar alltså p-värde.
en annat sätt för att notera just den på denna plats ekvationen är
$$x^{2}+0\cdot x-16=0$$
Men eftersom
$$0\cdot x=0$$
låter man vanligtvis bli för att notera ut den termen inom uttrycket.
Vi kan åtgärda ekvationen genom pq-formeln:
$$\\p=0$$
$$q=-16$$
$$x=-\frac{0}{2} \pm \sqrt{\left (\frac{0}{2} \right )^{2}-(-16)}$$
$$x=\pm \sqrt{16}=\pm 4$$
$$x_{1}=4 \: samt \: x_{2}=-4$$
Men en enklare sätt för att åtgärda just den på denna plats sortens andragradsekvationer existerar för att addera 16 vid båda sidor angående likhetstecknet.
$$x^{2}-16 + 16 =0+16$$
$$x^{2}=16$$
$$x=\sqrt{16}$$
$$x_{1}=4 \: samt \: x_{2}=-4$$
Vi får ut identisk lösning(ar) oavsett vilken från dessa metoder oss använder, dock då andragradsekvationen saknar p-värde kunna den senare metoden artikel enklare samt snabbare för att nyttja än pq-formeln.
Vi besitter inom detta förra avsnittet sett för att vissa andragradsekvationer saknar reella lösningar.
Men mer om det i lektionen om andragradsfunktionens nollställenidentisk sak gäller till vissa andragradsekvationer vars p-värde existerar lika tillsammans med noll.
Här existerar en modell vid enstaka sådan andragradsekvation liksom saknar reella lösningar:
$$x^{2}+16=0$$
Försöker oss för att åtgärda den vid identisk sätt likt oss gjorde nyss tillsammans den liknande ekvationen, får oss detta på denna plats resultatet:
$$x^{2}+16-16=0-16$$
$$x^{2}=-16$$
$$x=\pm \sqrt{-16}$$
Andragradsekvationen saknar alltså reella lösningar, eftersom uttrycket beneath rot-tecknet existerar negativt.
Avsaknad från q-värde
Vi besitter tidigare sett hur man hittar lösningar vid fullständiga andragradsekvationer samt hur man enklare förmå hitta lösningar vid sådana andragradsekvationer liksom saknar p-värde.
Nu bör oss repetera enstaka teknik såsom förmå användas på grund av för att enklare hitta lösningar inom dem fall då andragradsekvationen saknar q-värde (det önskar yttra då q existerar lika tillsammans med noll).
oss besitter tidigare stött vid denna teknik, likt kallas nollproduktmetoden.
Här existerar en modell vid enstaka andragradsekvation vilket saknar q-värde:
$$x^{2}+4x=0$$
Ett annat sätt för att nedteckna denna ekvation är
$$x^{2}+4x+0=0$$
men vid identisk sätt liksom oss såg tidigare inom avsnittet angående andragradsekvationer såsom saknar p-värde, låter man vanligtvis bli för att nedteckna ut q-värdet angående detta existerar lika tillsammans med noll.
Först bör oss visa för att detta går för att åtgärda denna typ från andragradsekvation tillsammans med hjälp från pq-formeln:
$$p=4 \\q=0$$
$$x=-\frac{4}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{4}{2} \right )^{2}-0}$$
$$x=-2\pm \sqrt{4}$$
$$x=-2\pm 2$$
$$x_{1}=0 \: samt \: x_{2}=-4$$
Men oss bör även åtgärda ekvationen vid en snabbare sätt.
oss börjar tillsammans med för att faktorisera ekvationens VL samt avbryta ut x:
$$x^{2}+4x=x(x+4)=0$$
Nu besitter oss numeriskt värde faktorer vars vara likt bör artikel lika tillsammans noll. oss vet för att ifall ett från dessa faktorer existerar noll, sålunda kommer VL = 0 = HL:
$$x\cdot (x+4)=0$$
Den inledande roten mot ekvationen existerar därför x=0:
$$0\cdot (0+4)=0\cdot 4=0$$
Den andra roten får oss ifall oss tänker för att den andra faktorn bör artikel noll.
Den andra faktorn är:
$$(x+4)$$
Vi får alltså liksom ett små mini-ekvation såsom oss bör lösa:
$$(x+4)=0\Rightarrow x=-4$$
Den andra roten mot ekvationen existerar därför x=-4:
$$-4\cdot (-4+4)=-4\cdot 0=0$$
De båda rötterna existerar för tillfället funna samt ekvationen existerar löst. oss förmå kontrollräkna våra lösningar genom för att testa för att sätta in dem båda rötterna fanns till sig inom ursprungsekvationen:
$$x_{1}=0$$
$$0^{2}+4\cdot 0=0$$
$$x_{2}=-4$$
$$(-4)^{2}+4\cdot (-4)=16-16=0$$
Låt oss räkna ytterligare en modell, denna gång tillsammans med utgångspunkt inom enstaka tredjegradsekvation:
$$x^{3}-6x^{2}+5x=0$$
Hur förmå oss åtgärda denna ekvation?
Låt oss repetera hur vi löser andragradsekvationeross är kapabel direkt titta för att VL består från begrepp såsom varenda innehåller x, vilket betyder för att oss förmå faktorisera uttrycket inom VL samt avbryta ut x:
$$x^{3}-6x^{2}+5x=0 \Rightarrow$$
$$x(x^{2}-6x+5)=0$$
Nu förmå oss direkt, genom den inledande faktorn existerar x, titta för att den inledande roten är
$$x_{1}=0$$
Den andra faktorn är
$$(x^{2}-6x+5)$$
Vi skapar ett "mini-ekvation" samt löser ut dem andra numeriskt värde rötterna genom pq-formeln:
$$x^{2}-6x+5=0$$
$$p=-6$$
$$q=5$$
$$x=-\frac{(-6)}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{-6}{2} \right )^{2}-5}$$
$$x=3\pm \sqrt{4}=3\pm 2$$
$$x_{2}=1 \: samt \: x_{3}=5$$
Just den denna plats tredjegradsekvationen plats en specialfall, liksom oss kunde åtgärda tillsammans hjälp från faktorisering samt pq-formeln.
Dessa metoder förmå dock existera användbara för att äga inom minnet angående man stöter vid ekvationer från högre gradtal.
Vi löser en mot exempel
$$x^3+6x^2+12x=0$$
Vi faktoriserar genom för att avbryta ut x
$$x(x^2+6x+12)=0$$
Första roten är
$$x_1=0$$
Vi löser resten med pq-formeln
$$x= \frac{-6}{2} \pm \sqrt{{\left(\frac{6}{2}\right)}-12}$$
$$x= -3 \pm \sqrt{9-12}$$
$$x= -3 \pm \sqrt{(-3)}$$
Vi fick en negativt anförande beneath rottecknet samt därför är x2och x3 ej reella rötter.
således den enda reella rötter oss fick plats den oss ägde ifrån början
$$x_1=0$$