Hur lära sig geometrisk talföljd

I detta denna plats kapitlet kommer oss för att lära oss angående talföljder samt även hur oss tillsammans hjälp från således kallade induktionsbevis förmå bevisa påståenden likt gäller på grund av talföljder samt summor.

Inledningsvis kommer oss inom detta denna plats avsnittet för att repetera hur talföljder fungerar samt hur oss förmå förklara vissa typer från talföljder.

En talföljd är en följd av tal, ändligt eller oändligt många

Därefter kommer oss inom nästa del för att lära oss mer angående rekursion, vilket existerar en sätt för att successivt beräkna talen inom enstaka nummerföljd utifrån dem anförande likt redan existerar kända.

Talföljder

I Matte 1-kursen stötte oss vid numeriskt värde typer från talföljder: aritmetiska talföljder och geometriska talföljder.

Allmänt gäller för att ett nummerföljd existerar ett uppräkning från anförande inom ett viss ordning.

dem anförande likt ingår inom ett nummerföljd kallas element.

Här nedan existerar numeriskt värde modell vid talföljder, var den inledande existerar ett aritmetisk nummerföljd samt den andra existerar ett geometrisk talföljd:

$$3,\,5,\,7,\,9,\,11,\,$$

och

$$9,\,-3,\,1,\,-\frac{1}{3},\,\frac{1}{9},\,$$

I dem båda exemplen ovan finns detta en mönster likt utför för att oss kunna förutse samt beräkna värdet vid elementen inom talföljden, dock detta finns även talföljder var värdena vid elementen ej följer något mönster.

ifall värdena vid elementen inom talföljden följer en visst mönster samt oss känner mot detta mönster, då är kapabel oss beräkna värdet vid talföljdens element tillsammans med hjälp från enstaka formel.

En ytterligare egenskap såsom dem båda talföljderna ovan äger existerar för att dem existerar oändliga talföljder, vilket innebär för att detta finns oändligt flera element inom talföljden.

Detta markerar oss tillsammans dem tre punkterna längst bort mot motsats till vänster inom talföljden, vilka betecknar för att resten från elementen inom talföljden följer identisk mönster liksom dem likt redan skrivits ut.

Om du tycker att den h

detta finns även ändliga talföljder, vilka besitter en begränsat antal element. en modell vid enstaka ändlig nummerföljd existerar 1,2, 3, såsom alltså bara består från dessa tre element.

Att ett nummerföljd existerar ett resultat från anförande innebär för att detta, mot skillnad ifrån mängder, agerar roll inom vilken ordning såsom talen förekommer.

mot modell existerar talföljderna 1, 2, 3 respektive 3, 2, 1 numeriskt värde helt olika talföljder, medan mängderna {1, 2, 3} respektive {3, 2, 1} existerar identiska mängder.

När oss önskar ange en visst element inom ett nummerföljd, förmå oss utföra detta tillsammans hjälp från elementets index, vilket anger fanns inom talföljden likt elementet förekommer.

detta inledande elementet inom ett nummerföljd förmå därför ges index 1, detta andra elementet index 2, samt sålunda vidare, vilket innebär för att detta n:te elementet besitter index n. mot modell förmå oss äga nästa oändliga talföljd

$${a}_{1},\,{a}_{2},\,{a}_{3},\,{a}_{4},\,$$

där a_n anger detta n:te elementet inom talföljden.

Ibland förekommer detta även för att man börjar räkna index ifrån noll, detta önskar yttra a₀, a₁, a₂, samt därför vidare.

Aritmetiska talföljder samt aritmetiska summor

I start från detta segment äger oss en modell vid enstaka nummerföljd vilket ser ut därför här:

$$3,\,5,\,7,\,9,\,11,\,$$

Detta existerar ett typ från nummerföljd liksom kallas aritmetisk nummerföljd samt liksom oss tidigare äger träffat vid inom Matte 1-kursen.

Gemensamt till varenda aritmetiska talföljder existerar för att differensen, d, mellan en anförande samt detta närmast föregående talet existerar konstant.

Till modell gäller till talföljden ovan för att differensen existerar 2 mellan detta andra elementet (5) samt detta inledande elementet (3), mellan detta tredjeplats elementet (7) samt detta andra elementet (5), osv.

oss kunna titta detta liksom för att avståndet mellan intilliggande element inom ett aritmetisk nummerföljd existerar konstant.

Detta är kapabel oss notera vid nästa allmänna sätt:

$${a}_{n}-{a}_{n-1}=d$$

där n > 1.

En oändlig aritmetisk nummerföljd följer därför nästa mönster:

$${a}_{1},\,{a}_{1}+d,\,{a}_{1}+2d,\,{a}_{1}+3d,\,$$

och värdet vid detta n:te elementet förmå oss beräkna tillsammans formeln

$${a}_{n}={a}_{1}+(n-1)\cdot d$$

Vill oss beräkna summan från dem n inledande elementen inom enstaka aritmetisk nummerföljd (vad såsom kallas enstaka aritmetisk summa) förmå oss utföra detta tillsammans med nästa formel:

$${s}_{n}=\frac{n\cdot ({a}_{1}+{a}_{n})}{2}$$

där s_n är summan från dem n inledande elementen inom talföljden, a₁ är talföljdens inledande element, samt a_n är talföljdens n:te element.

I en senare segment kommer oss för att visa hur oss tillsammans hjälp från induktionsbevis kan bevisa för att denna formel på grund av ett aritmetiska summa stämmer till talföljden

$$1,\,2,\,3,\,\,,\,n$$

---

Beräkna värdet vid detta e elementet samt summan från dem hundra inledande elementen inom talföljden

$$3,\,5,\,7,\,9,\,11,\,$$

Som oss tidigare besitter konstaterat existerar detta enstaka aritmetisk nummerföljd var differensen, d, mellan värdet vid en element, a_n, samt värdet vid detta närmast föregående elementet, a_n-1, existerar lika tillsammans med 2.

Därför kunna oss beräkna värdet vid detta hundrade elementet, a, således här:

$$ {a}_{}={a}_{1}+()\cdot 2=$$

$$={a}_{1}+99\cdot 2=$$

$$={a}_{1}+=$$

$$=3+=$$

Värdet vid detta e elementet inom talföljden existerar alltså

Summan från värdena vid dem inledande elementen inom talföljden kalkylerar oss tillsammans hjälp från formeln på grund av ett aritmetisk summa, var n = Denna summa existerar lätt för att beräkna då oss redan känner mot värdet vid detta e elementet, a:

$$ {s}_{}=\frac{\cdot ({a}_{1}+{a}_{})}{2}=$$

$$=\frac{\cdot (3+)}{2}=$$

$$=\frac{\cdot }{2}=$$

$$=\cdot =10\,$$

Summan från värdena vid dem inledande elementen inom talföljden existerar alltså lika tillsammans med

---

Geometriska talföljder samt geometriska summor

Det andra exemplet vid ett nummerföljd, liksom oss träffade vid inom start från detta denna plats avsnittet, ser ut sålunda här:

$$9,\,-3,\,1,\,-\frac{1}{3},\,\frac{1}{9},\,$$

Detta existerar ett geometrisk nummerföljd samt även denna typ från nummerföljd träffade oss vid inom Matte 1-kursen.

Gemensamt till samtliga geometriska talföljder existerar för att kvoten, k, mellan en anförande samt detta närmast föregående talet existerar konstant.

Till modell gäller till talföljden ovan för att kvoten existerar -1/3 mellan detta andra elementet (-3) samt detta inledande elementet (9), mellan detta tredjeplats elementet (1) samt detta andra elementet (-3), osv.

oss är kapabel titta detta likt för att förhållandet mellan intilliggande element inom enstaka geometrisk nummerföljd existerar konstant.

Detta kunna oss notera vid nästa allmänna sätt:

$$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=k$$

för n > 1.

En oändlig geometrisk nummerföljd följer därför nästa mönster:

$${a}_{1}\cdot {k}^{0},\,{a}_{1}\cdot {k}^{1},\,{a}_{1}\cdot {k}^{2},\,$$

och värdet vid detta n:te elementet är kapabel oss beräkna tillsammans med formeln

$${a}_{n}={a}_{1}\cdot {k}^{n-1}$$

Vill oss beräkna summan från dem n inledande elementen inom ett geometrisk nummerföljd (vad liksom kallas ett geometrisk summa) förmå oss utföra detta tillsammans nästa formel:

$${s}_{n}=\frac{{a}_{1}\cdot \left ( {k}^{n}-1 \right )}{k-1}$$

där s_n är summan från dem n inledande elementen inom talföljden, a₁ är talföljdens inledande element, samt k existerar kvoten mellan en anförande samt detta närmast föregående talet inom talföljden.

Ett modell vid en användningsområde till geometriska talföljder existerar nära kalkyl från hur tillgångar ökar då man äger enstaka viss ränta.

Räntesatsen bestämmer då värdet vid talet k likt oss äger räknat tillsammans ovan. detta finns även flera andra fenomen likt är kapabel beskrivas tillsammans med hjälp från geometriska talföljder.

Summasymbolen

När oss skriver summan från en större antal begrepp besitter oss användning på grund av summasymbolen ∑ (symbolen såsom används existerar den stora bokstaven sigma inom detta grekiska alfabetet).

tillsammans med hjälp från denna tecken är kapabel oss vid en kompakt sätt nedteckna enstaka summa från en stort antal termer.

Till modell förmå oss nedteckna nästa summa tillsammans med hjälp från summasymbolen:

$$1+2+3+\,\,+n$$

Med summasymbolen får oss då nästa uttryck:

$$\sum_{m=1}^{n}m$$

Detta tolkar oss liksom summan från samtliga begrepp m då variabeln m antar värden ifrån 1 mot n (alltså ifrån detta värde såsom står beneath summasymbolen, mot detta värde liksom står ovanför summasymbolen).

Även nästa geometriska summa är kapabel oss nedteckna tillsammans med hjälp från summasymbolen (observera för att detta inom detta fall rör sig angående en oändligt antal begrepp likt bör summeras):

$$1+2+4+8+16+\,$$

I detta denna plats fallet existerar kvoten mellan värdet vid enstaka begrepp samt den närmast föregående termen konstant samt lika tillsammans med 2.

Med summasymbolen får oss därför nästa uttryck:

$$\sum_{m=0}^{\infty }{2}^{m}$$

Detta tolkar oss såsom summan från varenda anförande 2^m då variabeln m antar värden ifrån 0 mot oändligheten.

I detta på denna plats fallet får oss alltså nästa summa:

$$\sum_{m=0}^{\infty }{2}^{m}={2}^{0}+{2}^{1}+{2}^{2}+{2}^{3}+\,=1+2+4+8+\,$$